Matemática Avanzada: Diciembre

SERIE DE LAURENT

Si f(z) no es analítica en zo, entonces no se desarrolla mediante una serie de Taylor. De esta manera, se define la serie de Laurent (propia de las funciones de variable compleja).

Sea f: D subconjunto de los complejos C ----> C, y una función analítica dentro y sobre la frontera de D (región anular), entonces:

Donde an y bn son coeficientes

Teorema:

Sea f (z) analítica en el anillo r < |z - zo| < R, entonces para todo z en este anillo:

TEOREMA DE LOS RESIDUOS

SINGULARIDADES

En la teoría de los números reales se consideran puntos críticos a aquellos valores que toma la variable x, para los cuales f(x) no se define. Mientras que, en los números complejos; a los valores que toma z, tales que f(z) no se define se les conoce como singularidades.

Si f(z) es analítica en todo el dominio D, siendo D un anillo 0 < |Z - Zo| < r, excepto en Zo. Se considera que este Zo constituye una singularidad de f(z).

Las singularidades pueden ser de varios tipos:

Aislada

Polo:

Si g(z) es una función analítica en todo el dominio D, siendo D un anillo 0 < |z - zo| < r, y f(z) la función descrita por la Figura 1; entonces, zo es un polo de orden n.

Se puede demostrar que zo es un polo de orden n si:

Punto de ramificación:
Removible:

El punto singular Zo es llamado una singularidad removible de F(z) si:

z_{0}

lim_{z \to z_{0}} f (z)

existe

TEOREMA DEL RESIDUO

Si f(z) es analítica en D, excepto en Z1, Z2, ... , Zj; donde f tiene singularidades. Sea γ una curva cerrada suave o suave por intervalos en D que encierra a Z1, Z2, ... , Zj; entonces: