INTEGRACIÓN COMPLEJA
En forma general las integrales complejas se difieren y tienen propiedades similares a la integración de números reales.
Sin embargo existen algunas integrales complejas que nos permitirán evaluar integrales reales.
* Una curva suave no tiene interceptos o puntos pronunciados se denomina también curva simple o Jordan.
INTEGRALES DE LINEA
Estas integrales se definen para curvas suaves o suaves por intervalos.
La esfera es un conjunto simplemente CONEXO
Este espacio no es simplemente conexo, porque tiene agujeros que lo atraviesan.
INTEGRALES CERRADAS
* Se calculan de igual forma que las integrales de linea.
* La principal diferencia es que en este caso las curvas r son curvas cerradas.
* Para el caso de variable compleja se presenta un caso que se resuelve por el Teorema de Cauchy y las Integrales de Cauchy, siendo una alternativa para funciones analíticas.
Propiedades:
1.- Teorema de la integral de Cauchy. Sea f(z) una funcion analitica en D, un dominio simplemente conexo y r una curva cerrada simple en D, entonces
Características:
* f (z) analitica
* D simplemente conexo
* r curva simple cerrada
2.- Si f(z) es analítica en un dominio D simplemente conexo la
es independiente de la trayectoria.
es independiente de la trayectoria.
3.- Teorema de la deformación. Sea f(z) una función analítica en un dominio D, excepto en Zo y sean r1 y r2 curvas cerradas simples que en cierran a Zo.
INTEGRALES DE CAUCHY
* Fórmula de la integral de Cauchy para derivadas de orden superior.
Si f es analitica en un dominio D simplemente conexo D y sea Zo en D entonces f tiene derivadas de todos los órdenes en Zo y la enésima derivada en Zo es:
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