Octubre

01, Octubre del 2015

Los Números Complejos (C)

• Todo número real es un complejo
• No todo número complejo es un número real

Representacion Algebraica o binomial de un número complejo

Representacion Cartesiana: z= (x,y)

 

Igualdad entre números complejos, si:

Z1= x1+ iy1 Ʌ Z2= x2 + iy2

Entonces:

Z1= Z2 ↔ X1= X2 Ʌ y1= y2

p ↔ q Ʌ r

Ejemplo

Determinar a Ʌ b, tales que:

Casos Particulares
i) Si Re(z) = 0 Ʌ Im(z)= 0
entonces z= 0+i0 --> Cero Complejo  

ii) Si Re(z) = 0 Ʌ Im(z) ≠ 0
entonces z= 0+iy
z= iy  ---> Imaginario Puro

iii)   Si Re(z) ≠ 0 Ʌ Im(z) = 0
entonces z= x+i0
z= x  ---> Número Real

 Operaciones con números Complejos

Suma de números complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Resta de números complejos

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

El conjugado de Z (Ẑ )
Sea Z= x+ iy, entones su conjugado es_

Ẑ=x-iy

Modulo de Z, |z|, ||z||
Z= (X,Y)

|Z|= √X² + Y²

Z* Ẑ=(x+iY)(X-iY)

z*Ẑ=X² + Y²

Propiedades del conugado
1  
2  
_{3 |Z1 Z2|= |Z1| |Z2| 
4Z1 +- Z2=<|Z1|+Z2||
5  
6 Re(z)=z+} Ẑ/2; Im(Z)= Z-Ẑ/2

05, de Octubre del 2015

División
Caso Particular del producto
Sea Z1= a+ ib Ʌ Z2= c+ id, entonces:


Z3= Z1*(Z2) ^-1



Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del vector  determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

z= r Cis θ

Ejemplo

Sea z= 3-2i .Hallar la forma polar de Z

r = √13

θ= arctan (-2/3)

θ= -33.7°

θ= 360. 33.7 = 326.3°

Z= √13( cos 326.3 + i sen 326.3)

Z= √13 Cis 326.3°

Z=√13_326.3

Producto

Sea Z1= r1 Cis θ1 Ʌ Z2= r2 Cis θ2, entonces:

i) Z1* Z2= r1 Cis θ1(r2 Cis θ2)

   Z1* Z2= r1r2 Cis (θ1+ θ2) 

ii)  Z1 =  r1 Cis θ1

     Z2    r2 Cis θ2

     Z1 =  r1 Cis (θ1+θ2)

     Z2    r2

Ejemplo

Sea Z1= -1+ i Ʌ Z2= 0+ 3i

|Z1|=√2  Ʌ  |Z2|=3

θ1= arctan (-1/1)

θ1= 135°

θ2= 90°

a) Z1*Z2= ?

Z1=√2 Cis 135°

Z2=3 Cis 90°

Z1* Z2=3√2 Cis 225°

b) Z1/Z2 =?

Z1=√2 Cis 135°

Z2=3 Cis 90°

Z1/Z2 = √2/3 Cis 45° 

Formula de Euler

z= r(cos θ+ isen θ)

e^iθ= cos θ+ isen θ

z= re^iθ Forma Exponencial


 

Raíces

 

La raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es la n raíz enésima del módulo.

     

Su argumento es:

     

     

Ejemplo:

08,Octubre del 2015

Lugares Geométricos en C

Distancia
La distancia entre dos puntos z₁ = x₁ +iy₁  y    z₂ = x₂ +iy₂  en el plano  complejo está dada por:



Circulo

 

12, de Octubre del 2015

 
Funciones de Variable Compleja
: C → C
    Z → w= f(z)

w= Re[f(z)] + i Im[f(z)]
Si Z= x+ iy → f(z) = f(x,y)
Re[f(z)]= u (x,y)
Im[f(z)]= v(x,y)            u,v funciones reales de x Ʌ y
→ w= f(x,y)= u(x,y) +iv,y)

Representación Gráfica
No es posible representar f(z), ya que se requiere de R⁴,pero es posible otras opciones como las siguientes:

• Representar la Re[f(z)]
• Representar la Im [f(z)]
• El modulo de f(z) : |f(z)|
• El argumento Principal

θ= arc tan(Im[f(z)] / Re[f(z)])

• Representar en el plano complejo la posición de sus ceros y sus polos
• Representar las curvas de nivel de la parte real e imaginaria

Transformaciones del plano complejo

Una representación alternativa consiste en graficar las imágenes de rectas en el plano complejo.

Limites

 
Propiedades de los limites

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una función

   g e C

  

 

26, Octubre del 2015

Ecuaciones de Cauchy- Reiman(ECR)
Sea f(z)= u(x,y) + iv(x,y), una funcionde variable compleja, se dice que es analítica si cumplelas ECR:
 
ux= vy y uy=-vx

Teorema

Sea f(z)= u(x,y) + iv(x,y), una funcion definida en alguna region D que contiene a Zo y que tiene primeras derivadas parciales continuas y que satisfacen las ECR en Zo, entonces f'(zo), existe:

Coordenadas Conjugadas
Sea z= x+iy y z= x-iy

 

Funciones Analíticas

• Se dice que f: D c C → C

                                   z → w= f(z) 
es analítica en zo ϵ D, si f esta definido y es derivable en alguna vencidad de zo, es decir      D1|z-z0| < r  

• Se dice que f es analítica en D si f es derivable Ɐ Z ϵ D
• si f(z) es analítica en todo el plano complejo, se dice que f es funcion entera
• las funciones analíticas se denominan tanbien HOLOMORFAS O REGULARESla derivada de una función analítica, también es analítica 

 Funciones Armonicas
Sea f(z)= u(x,y) + iv(x,y) una funcion analítica, u y v se dicce que son FUNCIONES ARMÓNICAS y satisfacen:

29, de octubre del 2015

Bibliografía
http://www.vitutor.com/di/c/numeros_complejos.html
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/marco_complejos.htm
http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_complejos/ap03_numeros_complejos.php
http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisis%20matematico/Temas/C02_Funciones_complejas.pdf
https://books.google.es/books?id=q_6ASC9O75IC&pg=PA1&dq=numeros+complejos&hl=es-419&sa=X&ved=0ahUKEwidwLbxkrTJAhXE1h4KHSKUAgwQ6AEIJjAB#v=onepage&q=numeros%20complejos&f=false