26-29/10/15

26, Octubre del 2015

Ecuaciones de Cauchy- Reiman(ECR)
Sea f(z)= u(x,y) + iv(x,y), una funcionde variable compleja, se dice que es analítica si cumplelas ECR:
 
ux= vy y uy=-vx

Teorema

Sea f(z)= u(x,y) + iv(x,y), una funcion definida en alguna region D que contiene a Zo y que tiene primeras derivadas parciales continuas y que satisfacen las ECR en Zo, entonces f'(zo), existe:

Coordenadas Conjugadas
Sea z= x+iy y z= x-iy

 

Funciones Analíticas

• Se dice que f: D c C → C

                                   z → w= f(z) 
es analítica en zo ϵ D, si f esta definido y es derivable en alguna vencidad de zo, es decir      D1|z-z0| < r  

• Se dice que f es analítica en D si f es derivable Ɐ Z ϵ D
• si f(z) es analítica en todo el plano complejo, se dice que f es funcion entera
• las funciones analíticas se denominan tanbien HOLOMORFAS O REGULARESla derivada de una función analítica, también es analítica 

 Funciones Armonicas
Sea f(z)= u(x,y) + iv(x,y) una funcion analítica, u y v se dicce que son FUNCIONES ARMÓNICAS y satisfacen:

29, de octubre del 2015

08-12/10/15

08,Octubre del 2015

01-05/10/15

01, Octubre del 2015

Los Números Complejos (C)

• Todo número real es un complejo
• No todo número complejo es un número real

• Representacion Algebraica o binomial de un número complejo

Representacion Cartesiana: z= (x,y)

 
Igualdad entre números complejos, si:

Z1= x1+ iy1 Ʌ Z2= x2 + iy2

Entonces:

Z1= Z2 ↔ X1= X2 Ʌ y1= y2

p ↔ q Ʌ r

Ejemplo

Determinar a Ʌ b, tales que:

Casos Particulares
i) Si Re(z) = 0 Ʌ Im(z)= 0
entonces z= 0+i0 --> Cero Complejo  

ii) Si Re(z) = 0 Ʌ Im(z) ≠ 0
entonces z= 0+iy
z= iy  ---> Imaginario Puro

iii)   Si Re(z) ≠ 0 Ʌ Im(z) = 0
entonces z= x+i0
z= x  ---> Número Real

 Operaciones con números Complejos

Suma de números complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Resta de números complejos

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

El conjugado de Z (Ẑ )
Sea Z= x+ iy, entones su conjugado es_

Ẑ=x-iy

Modulo de Z, |z|, ||z||
Z= (X,Y)

|Z|= √X² + Y²

Z* Ẑ=(x+iY)(X-iY)

z*Ẑ=X² + Y²

Propiedades del conugado
1  
2  
_{3 |Z1 Z2|= |Z1| |Z2| 
4Z1 +- Z2=<|Z1|+Z2||
5  
6 Re(z)=z+} Ẑ/2; Im(Z)= Z-Ẑ/2

05, de Octubre del 2015

División
Caso Particular del producto
Sea Z1= a+ ib Ʌ Z2= c+ id, entonces:


Z3= Z1*(Z2) ^-1



Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del vector  determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

z= r Cis θ

Ejemplo

Sea z= 3-2i .Hallar la forma polar de Z

r = √13

θ= arctan (-2/3)

θ= -33.7°

θ= 360. 33.7 = 326.3°

Z= √13( cos 326.3 + i sen 326.3)

Z= √13 Cis 326.3°

Z=√13_326.3

Producto

Sea Z1= r1 Cis θ1 Ʌ Z2= r2 Cis θ2, entonces:

i) Z1* Z2= r1 Cis θ1(r2 Cis θ2)

   Z1* Z2= r1r2 Cis (θ1+ θ2) 

ii)  Z1 =  r1 Cis θ1

     Z2    r2 Cis θ2

     Z1 =  r1 Cis (θ1+θ2)

     Z2    r2

Ejemplo

Sea Z1= -1+ i Ʌ Z2= 0+ 3i

|Z1|=√2  Ʌ  |Z2|=3

θ1= arctan (-1/1)

θ1= 135°

θ2= 90°

a) Z1*Z2= ?

Z1=√2 Cis 135°

Z2=3 Cis 90°

Z1* Z2=3√2 Cis 225°

b) Z1/Z2 =?

Z1=√2 Cis 135°

Z2=3 Cis 90°

Z1/Z2 = √2/3 Cis 45° 

Formula de Euler

z= r(cos θ+ isen θ)

e^iθ= cos θ+ isen θ

z= re^iθ Forma Exponencial

 
 

Raíces

 

La raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es la n raíz enésima del módulo.

     

Su argumento es:

     

     

Ejemplo: