01, Octubre del 2015
Los Números Complejos (C)
- Todo número real es un complejo
- No todo número complejo es un número real
- Representacion Algebraica o binomial de un número complejo
Representacion Cartesiana: z= (x,y)
Igualdad entre números complejos, si:
Z1= x1+ iy1 Ʌ Z2= x2 + iy2
Entonces:
Z1= Z2
↔ X1= X2 Ʌ y1= y2
p ↔ q Ʌ r
Ejemplo
Determinar a Ʌ b, tales que:
Casos Particulares
i) Si Re(z) = 0 Ʌ Im(z)= 0
entonces z= 0+i0 --> Cero Complejo
ii) Si Re(z) = 0 Ʌ Im(z) ≠ 0
entonces z= 0+iy
z= iy ---> Imaginario Puro
iii) Si Re(z) ≠ 0 Ʌ Im(z) = 0
entonces z= x+i0
z= x ---> Número Real
Operaciones con números Complejos
Suma de números complejos
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Resta de números complejos
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i
El conjugado de Z (Ẑ )
Sea Z= x+ iy, entones su conjugado es_
Ẑ=x-iy
Modulo de Z, |z|, ||z||
Z= (X,Y)
|Z|= √X2 + Y2
Propiedades del conugado
1
2
3 |Z1 Z2|= |Z1| |Z2|
4Z1 +- Z2=<|Z1|+Z2||
5
6 Re(z)=z+ Ẑ/2; Im(Z)= Z-Ẑ/2
05, de Octubre del 2015
División
Caso Particular del producto
Sea Z1= a+ ib Ʌ Z2= c+ id, entonces:
Z3= Z1*(Z2) ^-1
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.
z= r Cis θ
Ejemplo
Sea z= 3-2i .Hallar la forma polar de Z
r
= √13
θ= arctan (-2/3)
θ= -33.7°
θ= 360. 33.7 = 326.3°
Z= √13( cos 326.3 + i sen 326.3)
Z= √13 Cis 326.3°
Z=√13326.3
Producto
Sea Z1= r1 Cis θ1 Ʌ Z2= r2 Cis θ2, entonces:
i) Z1* Z2= r1 Cis θ1(r2 Cis θ2)
Z1* Z2= r1r2 Cis (θ1+ θ2)
ii) Z1 = r1 Cis θ1
Z2 r2 Cis θ2
Z1 = r1 Cis (θ1+θ2)
Z2 r2
Ejemplo
Sea Z1= -1+ i Ʌ Z2= 0+ 3i
|Z1|=√2 Ʌ |Z2|=3
θ1= arctan (-1/1)
θ1= 135°
θ2= 90°
a) Z1*Z2= ?
Z1=√2 Cis 135°
Z2=3 Cis 90°
Z1* Z2=3√2 Cis 225°
b) Z1/Z2 =?
Z1=√2 Cis 135°
Z2=3 Cis 90°
Z1/Z2 = √2/3 Cis 45°
Formula de Euler
z= r(cos θ+ isen θ)
eiθ= cos θ+ isen θ
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